5989. Metoda smene promenljive

Uslov je $x^6<2 .$ Primetimo da je $x^6=(x^3)^2$ i da je $x^2\,dx$ (do na faktor $3$ ) diferencijal od $x^3 .$ Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=x^3 ,$ $dt=3x^2\,dx :$

t=x^3,\qquad x^2\,dx=\frac{dt}{3},\qquad x^6=t^2

Integral u promenljivoj $t :$

\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{2-x^6}}=\frac13\int\frac{dt}{\sqrt{2-t^2}}

Kao u zadatku 327.g (sa $a=\sqrt2$ ): izvlačimo $\sqrt2$ iz korena, $\sqrt{2-t^2}=\sqrt2\sqrt{1-\left(\frac t{\sqrt2}\right)^2} ,$ i uzimamo $u=\frac t{\sqrt2} ,$ $dt=\sqrt2\,du :$

\frac13\int\frac{dt}{\sqrt{2-t^2}}=\frac13\int\frac{\sqrt2\,du}{\sqrt2\sqrt{1-u^2}}=\frac13\arcsin u+C=\frac13\arcsin\frac{t}{\sqrt2}+C

Vraćamo $t=x^3 :$

\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{2-x^6}}=\frac13\arcsin\frac{x^3}{\sqrt2}+C

Provera:

\left(\frac13\arcsin\frac{x^3}{\sqrt2}\right)'=\frac13\cdot\frac{\frac{3x^2}{\sqrt2}}{\sqrt{1-\frac{x^6}2}}=\frac{\frac{x^2}{\sqrt2}}{\frac1{\sqrt2}\sqrt{2-x^6}}=\frac{x^2}{\sqrt{2-x^6}}

Traženi integral je $\int\frac{x^2}{\sqrt{2-x^6}}\,dx=\frac13\arcsin\frac{x^3}{\sqrt2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

327.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci