6116. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}\frac x2 :$ $\sin x=\frac{2t}{1+t^2} ,$ $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} ,$ $dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} .$ Imenilac:

5-4\sin x+3\cos x=\frac{5(1+t^2)-8t+3(1-t^2)}{1+t^2}=\frac{2t^2-8t+8}{1+t^2}=\frac{2(t-2)^2}{1+t^2}

Uvrštavamo:

\int\frac{dx}{5-4\sin x+3\cos x}=\int\frac{1+t^2}{2(t-2)^2}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2}=\int(t-2)^{-2}\,dt=-\frac{1}{t-2}+C

Vraćamo smenu:

\int\frac{dx}{5-4\sin x+3\cos x}=\frac{1}{2-\operatorname{tg}\frac x2}+C

Provera preko $t :$ $\left(\frac1{2-t}\right)'_t=\frac{1}{(2-t)^2}$ ; množenjem sa $\frac{dt}{dx}=\frac{1+t^2}2$ dobijamo $\frac{1+t^2}{2(t-2)^2} ,$ a to je $\frac{1}{5-4\sin x+3\cos x}$ zapisano preko $t .$

Prema tome, $\int\frac{dx}{5-4\sin x+3\cos x}=\frac1{2-\operatorname{tg}\frac x2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

344.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci