6113. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}\frac x2 :$ $\sin x=\frac{2t}{1+t^2} ,$ $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} ,$ $dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} .$ Imenilac:

3+5\cos x=\frac{3(1+t^2)+5(1-t^2)}{1+t^2}=\frac{8-2t^2}{1+t^2}

Uvrštavamo:

\int\frac{dx}{3+5\cos x}=\int\frac{2\,dt}{8-2t^2}=\int\frac{dt}{4-t^2}

Pošto je $(2+t)+(2-t)=4 ,$ važi $\frac{1}{4-t^2}=\frac14\left(\frac1{2-t}+\frac1{2+t}\right) :$

\int\frac{dt}{4-t^2}=\frac14\left(-\ln|2-t|+\ln|2+t|\right)+C=\frac14\ln\left|\frac{2+t}{2-t}\right|+C

Vraćamo smenu:

\int\frac{dx}{3+5\cos x}=\frac14\ln\left|\frac{2+\operatorname{tg}\frac x2}{2-\operatorname{tg}\frac x2}\right|+C

Provera za $x=0 :$ podintegralna funkcija je $\frac18$ ; izvod po $t$ u $t=0$ je $\frac14 ,$ a $\frac{dt}{dx}=\frac12 ,$ pa je izvod po $x$ jednak $\frac18 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Dakle, $\int\frac{dx}{3+5\cos x}=\frac14\ln\left|\frac{2+\operatorname{tg}\frac x2}{2-\operatorname{tg}\frac x2}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

344.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci