6120. Metoda parcijalne integracije

Smena je $t=\operatorname{tg}\frac x2 :$ $\sin x=\frac{2t}{1+t^2} ,$ $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} ,$ $dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} .$ Brojilac i imenilac posebno:

1-\sin x+\cos x=\frac{2-2t}{1+t^2},\qquad1+\sin x-\cos x=\frac{2t^2+2t}{1+t^2}=\frac{2t(t+1)}{1+t^2}

Količnik je $\frac{1-t}{t(t+1)} ,$ pa je

\int\frac{1-\sin x+\cos x}{1+\sin x-\cos x}\,dx=\int\frac{2(1-t)\,dt}{t(t+1)(1+t^2)}

Rastavljamo na zbir jednostavnijih razlomaka (izjednačavanjem brojilaca, kao u 341.e):

\frac{2(1-t)}{t(t+1)(1+t^2)}=\frac2t-\frac{2}{t+1}-\frac{2}{1+t^2}

Integralimo:

2\ln|t|-2\ln|t+1|-2\operatorname{arctg}t+C=2\ln\left|\frac{t}{t+1}\right|-2\operatorname{arctg}t+C

Za $x\in(-\pi,\pi)$ je $2\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac x2\right)=x :$

\int\frac{1-\sin x+\cos x}{1+\sin x-\cos x}\,dx=-x+2\ln\left|\frac{\operatorname{tg}\frac x2}{\operatorname{tg}\frac x2+1}\right|+C

Brojna provera za $x=\frac\pi2 :$ podintegralna funkcija je $\frac{1-1+0}{1+1-0}=0$ ; izvod rezultata je $-1+2\left(\frac{1}{t}-\frac1{t+1}\right)\frac{1+t^2}2 ,$ što za $t=\operatorname{tg}\frac\pi4=1$ daje $-1+2\cdot\frac12\cdot1=0 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Konačno, $\int\frac{1-\sin x+\cos x}{1+\sin x-\cos x}\,dx=-x+2\ln\left|\frac{\operatorname{tg}\frac x2}{\operatorname{tg}\frac x2+1}\right|+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

344.ž

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci