6060. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $x>0 .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Logaritam uzimamo za $u ,$ jer mu se diferenciranjem smanjuje stepen:

u=\ln^2x,\quad dv=x^{\frac12}\,dx\qquad\implies\qquad du=\frac{2\ln x}{x}\,dx,\quad v=\frac23x^{\frac32}

Uvrštavamo; $\frac{x^{\frac32}}{x}=x^{\frac12} :$

\int\sqrt x\ln^2x\,dx=\frac23x^{\frac32}\ln^2x-\frac43\int x^{\frac12}\ln x\,dx

Preostali integral je zadatak 334.e sa $a=\frac12 :$ $\int x^{\frac12}\ln x\,dx=\frac23x^{\frac32}\ln x-\frac49x^{\frac32}+C .$ Uvrštavamo:

\int\sqrt x\ln^2x\,dx=\frac23x^{\frac32}\ln^2x-\frac89x^{\frac32}\ln x+\frac{16}{27}x^{\frac32}+C

Izvlačimo $\frac23x^{\frac32}=\frac23x\sqrt x :$

\int\sqrt x\ln^2x\,dx=\frac23x\sqrt x\left(\ln^2x-\frac43\ln x+\frac89\right)+C

Provera: $\left(\frac23x^{\frac32}\right)'=\sqrt x ,$ pa je

\sqrt x\left(\ln^2x-\frac43\ln x+\frac89\right)+\frac23x^{\frac32}\left(\frac{2\ln x}{x}-\frac{4}{3x}\right)=\sqrt x\ln^2x

Prema tome, $\int\sqrt x\ln^2x\,dx=\frac23x\sqrt x\left(\ln^2x-\frac43\ln x+\frac89\right)+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

335.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci