6061. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $x>2 .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Biramo $u=\ln x$ ; za $v$ integralimo $(x-2)^{-\frac12}$ (smena $s=x-2$ ) i dobijamo $2\sqrt{x-2} :$

u=\ln x,\quad dv=\frac{dx}{\sqrt{x-2}}\qquad\implies\qquad du=\frac{dx}x,\quad v=2\sqrt{x-2}

Uvrštavamo:

\int\frac{\ln x\,dx}{\sqrt{x-2}}=2\sqrt{x-2}\ln x-2\int\frac{\sqrt{x-2}}{x}\,dx

Metoda smene promenljive: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t) ,$ $dx=\varphi'(t)\,dt .$ U novom integralu uvodimo $s=\sqrt{x-2} ,$ tj. $x=s^2+2 ,$ $dx=2s\,ds ,$ a zatim u brojiocu dodamo i oduzmemo $2 :$

\int\frac{\sqrt{x-2}}{x}\,dx=\int\frac{s\cdot2s\,ds}{s^2+2}=2\int\frac{(s^2+2)-2}{s^2+2}\,ds=2\int\left(1-\frac{2}{s^2+2}\right)ds

Koristimo formulu iz zadatka 326.v: $\int\frac{du}{u^2+c^2}=\frac1c\operatorname{arctg}\frac uc+C$ ( $c>0$ ). Ovde je $c=\sqrt2 :$

2\int\left(1-\frac{2}{s^2+2}\right)ds=2s-\frac{4}{\sqrt2}\operatorname{arctg}\frac{s}{\sqrt2}+C=2\sqrt{x-2}-2\sqrt2\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{x-2}{2}}+C

Vraćamo u prvi izraz (množimo sa $-2$ ):

\int\frac{\ln x\,dx}{\sqrt{x-2}}=2\sqrt{x-2}(\ln x-2)+4\sqrt2\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{x-2}{2}}+C

Brojna provera za $x=4 :$ podintegralna funkcija je $\frac{\ln4}{\sqrt2}\approx0{,}9803$ ; numerički izvod rezultata u tački $x=4$ je takođe $\approx0{,}9803 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Dakle, $\int\frac{\ln x\,dx}{\sqrt{x-2}}=2\sqrt{x-2}(\ln x-2)+4\sqrt2\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{x-2}{2}}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

335.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci