6075. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $x\neq0 .$ Rastavljamo: $\frac{1}{x^2(1+x^2)}=\frac{(1+x^2)-x^2}{x^2(1+x^2)}=\frac1{x^2}-\frac1{1+x^2} :$

\int\frac{\operatorname{arctg}x\,dx}{x^2(1+x^2)}=\int\frac{\operatorname{arctg}x}{x^2}\,dx-\int\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx

Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ U prvom integralu je $u=\operatorname{arctg}x ,$ $dv=\frac{dx}{x^2} ,$ pa je $du=\frac{dx}{1+x^2} ,$ $v=-\frac1x :$

\int\frac{\operatorname{arctg}x}{x^2}\,dx=-\frac{\operatorname{arctg}x}{x}+\int\frac{dx}{x(1+x^2)}

Opet rastavljamo: $\frac1{x(1+x^2)}=\frac{(1+x^2)-x^2}{x(1+x^2)}=\frac1x-\frac{x}{1+x^2}$ ; drugi član integralimo kao u 330.a:

\int\frac{dx}{x(1+x^2)}=\ln|x|-\frac12\ln(1+x^2)+C

Drugi polazni integral je $\int\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx=\frac12(\operatorname{arctg}x)^2$ (smena $s=\operatorname{arctg}x ,$ kao u 338.g). Sabiramo sve:

\int\frac{\operatorname{arctg}x\,dx}{x^2(1+x^2)}=-\frac{\operatorname{arctg}x}{x}+\ln|x|-\frac12\ln(1+x^2)-\frac12(\operatorname{arctg}x)^2+C

Provera:

\frac{\operatorname{arctg}x}{x^2}-\frac{1}{x(1+x^2)}+\frac1x-\frac{x}{1+x^2}-\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2}=\frac{\operatorname{arctg}x}{x^2}-\frac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2}=\frac{\operatorname{arctg}x}{x^2(1+x^2)}

Rešenje zadatka je $\int\frac{\operatorname{arctg}x\,dx}{x^2(1+x^2)}=-\frac{\operatorname{arctg}x}{x}+\ln|x|-\frac12\ln(1+x^2)-\frac12(\operatorname{arctg}x)^2+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

338.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci