6047. Metoda parcijalne integracije

Uslov je $x>0 .$ Metoda parcijalne integracije: ako su $u(x)$ i $v(x)$ diferencijabilne funkcije, onda je $\int u\,dv=uv-\int v\,du .$ Kao u 334.đ, logaritam uzimamo za $u .$ Stepen $x^a$ integralimo po formuli $\int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C ,$ koja važi baš za $a\neq-1 :$

u=\ln x,\quad dv=x^a\,dx\qquad\implies\qquad du=\frac{dx}x,\quad v=\frac{x^{a+1}}{a+1}

Uvrštavamo; $\frac{x^{a+1}}{x}=x^a :$

\int x^a\ln x\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\ln x-\frac1{a+1}\int x^a\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\ln x-\frac{x^{a+1}}{(a+1)^2}+C

Primer: za $a=1$ dobijamo $\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}2\ln x-\frac{x^2}4+C .$ Provera u opštem slučaju:

\left(\frac{x^{a+1}\ln x}{a+1}-\frac{x^{a+1}}{(a+1)^2}\right)'=x^a\ln x+\frac{x^{a+1}}{a+1}\cdot\frac1x-\frac{(a+1)x^a}{(a+1)^2}=x^a\ln x

Dakle, $\int x^a\ln x\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\ln x-\frac{x^{a+1}}{(a+1)^2}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

334.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci