5969. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Tablični integral $\int e^t\,dt=e^t+C$ važi kada je u eksponentu baš promenljiva po kojoj integralimo. Zato uvodimo $t=-3x$ ; tada je $dt=-3\,dx ,$ odnosno $dx=-\frac13\,dt :$

t=-3x,\qquad dx=-\frac{dt}{3}

Konstantu $-\frac13$ izvlačimo ispred integrala:

\int e^{-3x}\,dx=-\frac13\int e^t\,dt=-\frac13e^t+C

Vraćamo $t=-3x :$

\int e^{-3x}\,dx=-\frac13e^{-3x}+C

Provera: $(e^{-3x})'=e^{-3x}\cdot(-3) ,$ pa je

\left(-\frac13e^{-3x}\right)'=-\frac13\cdot(-3)e^{-3x}=e^{-3x}

Prema tome, $\int e^{-3x}\,dx=-\frac13e^{-3x}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

325.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci