5970. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $t=ax .$ Tada je $dt=a\,dx ,$ a pošto je $a\neq0 ,$ smemo da podelimo sa $a :$ $dx=\frac1a\,dt .$ Upravo zbog ovog deljenja zadatak traži $a\neq0 :$

t=ax,\qquad dx=\frac{dt}{a}

Primenjujemo tablični integral $\int e^t\,dt=e^t+C :$

\int e^{ax}\,dx=\frac1a\int e^t\,dt=\frac1a e^t+C=\frac1a e^{ax}+C

Provera, na primer za $a=2 :$ $\left(\frac12e^{2x}\right)'=\frac12\cdot2e^{2x}=e^{2x} .$ U opštem slučaju:

\left(\frac1a e^{ax}\right)'=\frac1a\cdot a\,e^{ax}=e^{ax}

Dakle, $\int e^{ax}\,dx=\frac1a e^{ax}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

325.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci