5984. Metoda smene promenljive

Iz imenioca izvlačimo $a^2$ (to je moguće jer je $a\neq0$ ), da bismo dobili oblik $1+u^2 :$

a^2+x^2=a^2\left(1+\left(\frac xa\right)^2\right)

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Uvodimo $u=\frac xa$ ; tada je $x=au$ i $dx=a\,du :$

u=\frac xa,\qquad dx=a\,du

Primenjujemo tablični integral $\int\frac{du}{1+u^2}=\operatorname{arctg}u+C :$

\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac1{a^2}\int\frac{a\,du}{1+u^2}=\frac1a\operatorname{arctg}u+C=\frac1a\operatorname{arctg}\frac xa+C

Provera:

\left(\frac1a\operatorname{arctg}\frac xa\right)'=\frac1a\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac1a=\frac{1}{a^2}\cdot\frac{a^2}{a^2+x^2}=\frac1{a^2+x^2}

Ova formula je korisna i u narednim zadacima; na primer, za $a=2$ daje $\int\frac{dx}{4+x^2}=\frac12\operatorname{arctg}\frac x2+C .$ Zaključujemo da je $\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac1a\operatorname{arctg}\frac xa+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

326.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci