5983. Metoda smene promenljive

Metoda smene promenljive glasi: $\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt ,$ gde je $x=\varphi(t)$ i $dx=\varphi'(t)\,dt .$ Primetimo da je $e^{2x}=(e^x)^2 ,$ a da je $e^x\,dx$ diferencijal funkcije $e^x .$ Zato uvodimo $t=e^x ,$ pa je $dt=e^x\,dx :$

t=e^x,\qquad dt=e^x\,dx,\qquad e^{2x}=t^2

Dobijamo tablični integral $\int\frac{dt}{1+t^2}=\operatorname{arctg}t+C :$

\int\frac{e^x\,dx}{1+e^{2x}}=\int\frac{dt}{1+t^2}=\operatorname{arctg}t+C=\operatorname{arctg}e^x+C

Provera:

\left(\operatorname{arctg}e^x\right)'=\frac{1}{1+(e^x)^2}\cdot e^x=\frac{e^x}{1+e^{2x}}

Konačno, $\int\frac{e^x\,dx}{1+e^{2x}}=\operatorname{arctg}e^x+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

326.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci