6089. Metoda parcijalne integracije

Stepeni brojioca i imenioca su jednaki, pa prvo delimo: $x^3+1=(x^3-x^2)+(x^2+1) :$

\frac{x^3+1}{x^3-x^2}=1+\frac{x^2+1}{x^2(x-1)}

Razlomak sa imeniocem koji je proizvod linearnih činilaca zapisujemo kao zbir jednostavnijih razlomaka sa nepoznatim brojiocima, pa ih određujemo izjednačavanjem brojilaca. Pošto se $x$ javlja dvaput, uzimamo i razlomak sa $x^2 :$

\frac{x^2+1}{x^2(x-1)}=\frac Ax+\frac B{x^2}+\frac C{x-1}\implies x^2+1=Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2

Za $x=0 :$ $1=-B$ ; za $x=1 :$ $2=C$ ; koeficijent uz $x^2 :$ $A+C=1 :$

A=-1,\qquad B=-1,\qquad C=2

Integralimo član po član:

\int\frac{x^3+1}{x^3-x^2}\,dx=x-\ln|x|+\frac1x+2\ln|x-1|+C=x+\frac1x+\ln\frac{(x-1)^2}{|x|}+C

Provera za $x=2 :$ podintegralna funkcija je $\frac{9}{4} ,$ a izvod rezultata $1-\frac1{x^2}-\frac1x+\frac2{x-1}$ daje $1-\frac14-\frac12+2=\frac94 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom.

Rešenje zadatka je $\int\frac{x^3+1}{x^3-x^2}\,dx=x+\frac1x+\ln\frac{(x-1)^2}{|x|}+C .$

Započni učenje

Privatni časovi

341.v

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci