6164. Određeni integrali

Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $t=\arcsin x ,$ tj. $x=\sin t ,$ $dx=\cos t\,dt$ ; granice: $x=0\Rightarrow t=0 ,$ $x=1\Rightarrow t=\frac\pi2 :$

\int_0^1(\arcsin x)^2\,dx=\int_0^{\pi/2}t^2\cos t\,dt

Parcijalna integracija kod određenog integrala: $\int_a^b u\,dv=\left.(uv)\right|_a^b-\int_a^b v\,du .$ Ovaj integral je izračunat u zadatku 351.ž (dve parcijalne integracije, $u=t^2 ,$ pa $u=t$ ):

\int_0^{\pi/2}t^2\cos t\,dt=\frac{\pi^2}4-2

Traženi integral je $\int_0^1(\arcsin x)^2\,dx=\frac{\pi^2}{4}-2 .$

Započni učenje

Privatni časovi

352.v

Beleške