352.g
Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.
Izračunati: ∫01/2xln1+x1−x dx \int_0^{1/2}x\ln\frac{1+x}{1-x}\,dx ∫01/2xln1−x1+xdx
Izvod logaritma je (ln1+x1−x)′=11+x+11−x=21−x2. \left(\ln\frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac1{1+x}+\frac1{1-x}=\frac{2}{1-x^2} .(ln1−x1+x)′=1+x1+1−x1=1−x22. Parcijalna integracija kod određenog integrala: ∫abu dv=(uv)∣ab−∫abv du. \int_a^b u\,dv=\left.(uv)\right|_a^b-\int_a^b v\,du .∫abudv=(uv)∣ab−∫abvdu. Uzimamo u=ln1+x1−x, u=\ln\frac{1+x}{1-x} ,u=ln1−x1+x, dv=x dx dv=x\,dx dv=xdx i v=x2−12, v=\frac{x^2-1}2 ,v=2x2−1, jer je tada v du=x2−12⋅21−x2dx=−dx: v\,du=\frac{x^2-1}{2}\cdot\frac{2}{1-x^2}dx=-dx :vdu=2x2−1⋅1−x22dx=−dx:
Za x=12: x=\frac12 :x=21: 14−12ln3/21/2=−38ln3 \frac{\frac14-1}{2}\ln\frac{3/2}{1/2}=-\frac38\ln3 241−1ln1/23/2=−83ln3; za x=0: x=0 :x=0: ln1=0: \ln1=0 :ln1=0:
Brojno je ≈0,0880. \approx0{,}0880 .≈0,0880. Prema tome, ∫01/2xln1+x1−x dx=12−38ln3. \int_0^{1/2}x\ln\frac{1+x}{1-x}\,dx=\frac12-\frac38\ln3 .∫01/2xln1−x1+xdx=21−83ln3.
Da li je rešenje bilo korisno?
Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.
Tvoje privatne beleške uz zadatak.