6161. Određeni integrali

Parcijalna integracija kod određenog integrala: $\int_a^b u\,dv=\left.(uv)\right|_a^b-\int_a^b v\,du .$ Uzimamo $u=\ln^2x-3\ln x+3 ,$ $dv=x\,dx ,$ pa je $du=\frac{2\ln x-3}{x}\,dx ,$ $v=\frac{x^2}2 :$

\int_1^{e^2}x(\ln^2x-3\ln x+3)\,dx=\left.\frac{x^2}2(\ln^2x-3\ln x+3)\right|_1^{e^2}-\frac12\int_1^{e^2}x(2\ln x-3)\,dx

Za $x=e^2$ je $\ln x=2 ,$ pa je $4-6+3=1$ i prvi član daje $\frac{e^4}2$ ; za $x=1$ daje $\frac12\cdot3=\frac32 :$

\left.\frac{x^2}2(\ln^2x-3\ln x+3)\right|_1^{e^2}=\frac{e^4}2-\frac32

Za preostali integral koristimo $\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}2\ln x-\frac{x^2}4$ (zadatak 334.e sa $a=1$ ):

\frac12\int_1^{e^2}(2x\ln x-3x)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}2\ln x-\frac{x^2}4-\frac{3x^2}4\right)\right|_1^{e^2}=\left.\left(\frac{x^2}2\ln x-x^2\right)\right|_1^{e^2}=(e^4-e^4)-(0-1)=1

Oduzimamo:

\int_1^{e^2}x(\ln^2x-3\ln x+3)\,dx=\frac{e^4}2-\frac32-1=\frac{e^4-5}{2}

Brojno je $\approx24{,}7991 .$ Dakle, $\int_1^{e^2}x(\ln^2x-3\ln x+3)\,dx=\frac{e^4-5}{2} .$

Započni učenje

Privatni časovi

352.d

Beleške