6162. Određeni integrali

Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $t=\sqrt x ,$ $x=t^2 ,$ $dx=2t\,dt$ ; granice: $x=0\Rightarrow t=0 ,$ $x=\frac{\pi^2}4\Rightarrow t=\frac\pi2 :$

\int_0^{\pi^2/4}x\sin\sqrt x\,dx=\int_0^{\pi/2}t^2\sin t\cdot2t\,dt=2\int_0^{\pi/2}t^3\sin t\,dt

Parcijalna integracija kod određenog integrala: $\int_a^b u\,dv=\left.(uv)\right|_a^b-\int_a^b v\,du .$ Uzimamo $u=t^3 ,$ $dv=\sin t\,dt ,$ $v=-\cos t$ ; član $\left.-t^3\cos t\right|_0^{\pi/2}$ je nula jer je $\cos\frac\pi2=0 :$

\int_0^{\pi/2}t^3\sin t\,dt=\left.-t^3\cos t\right|_0^{\pi/2}+3\int_0^{\pi/2}t^2\cos t\,dt=3\int_0^{\pi/2}t^2\cos t\,dt

Po zadatku 351.ž je $\int_0^{\pi/2}t^2\cos t\,dt=\frac{\pi^2}4-2 :$

\int_0^{\pi^2/4}x\sin\sqrt x\,dx=2\cdot3\left(\frac{\pi^2}4-2\right)=\frac{3\pi^2}2-12

Brojno je $\approx2{,}8044 .$ Vrednost integrala je $\int_0^{\pi^2/4}x\sin\sqrt x\,dx=\frac32\pi^2-12 .$

Započni učenje

Privatni časovi

352.đ

Beleške