6165. Određeni integrali

Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$ Primitivna funkcija je $\operatorname{arctg}x :$

I(a)=\left.\operatorname{arctg}x\right|_0^a=\operatorname{arctg}a-\operatorname{arctg}0=\operatorname{arctg}a

Kada $a$ raste, $\operatorname{arctg}a$ se približava broju $\frac\pi2\approx1{,}5708 :$ za $a=10;\ 100;\ 1000$ dobijamo $1{,}4711;\ 1{,}5608;\ 1{,}5698 .$ Zato:

\lim_{a\to+\infty}I(a)=\lim_{a\to+\infty}\operatorname{arctg}a=\frac\pi2

Dakle, $I(a)=\operatorname{arctg}a$ i $\lim_{a\to+\infty}I(a)=\frac\pi2 .$

Započni učenje

Privatni časovi

353.a

Beleške