6166. Određeni integrali

Smena kod određenog integrala: ako je $x=\varphi(t) ,$ $a=\varphi(\alpha)$ i $b=\varphi(\beta) ,$ onda je $\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt .$ Granice se menjaju zajedno sa promenljivom, pa se na kraju ne vraćamo na $x .$ Uvodimo $t=\frac1x ,$ $dt=-\frac{dx}{x^2}$ ; granice: $x=\frac2\pi\Rightarrow t=\frac\pi2 ,$ $x=a\Rightarrow t=\frac1a :$

I(a)=\int_{\pi/2}^{1/a}\sin t\,(-dt)=\int_{1/a}^{\pi/2}\sin t\,dt

Njutn-Lajbnicova formula: ako je $f$ neprekidna na $[a,b]$ i $F$ njena primitivna funkcija, onda je $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_a^b .$

I(a)=\left.(-\cos t)\right|_{1/a}^{\pi/2}=-\cos\frac\pi2+\cos\frac1a=\cos\frac1a

Kada $a\to+\infty ,$ $\frac1a\to0 ,$ pa $\cos\frac1a\to\cos0=1$ (npr. $\cos0{,}1\approx0{,}9950 ,$ $\cos0{,}01\approx0{,}99995$ ):

\lim_{a\to+\infty}I(a)=\lim_{a\to+\infty}\cos\frac1a=1

Dakle, $I(a)=\cos\frac1a$ i $\lim_{a\to+\infty}I(a)=1 .$

Započni učenje

Privatni časovi

353.b

Beleške