5122. Svojstva realnih funkcija

Funkcija sadrži i sinus i kosinus. Pomoću $\sin^2x+\cos^2x=1$ zamenjujemo $\cos^2x=1-\sin^2x ,$ pa funkcija zavisi samo od $\sin x :$

y=\sin x-(1-\sin^2x)-1=\sin^2x+\sin x-2

Uvodimo oznaku $t=\sin x$ ; pri tome je $-1\leq t\leq1 .$ Dobijeni kvadratni izraz dopunjavamo do potpunog kvadrata ( $t^2+t=\left(t+\frac12\right)^2-\frac14$ ):

y=t^2+t-2=\left(t+\frac12\right)^2-\frac14-2=\left(t+\frac12\right)^2-\frac94

Kvadrat nije negativan, pa je $y\geq-\frac94 ,$ a jednakost važi kada je kvadrat nula, tj. za $t=-\frac12 .$ Ta vrednost je između $-1$ i $1 ,$ pa je sinus zaista može dostići. Najmanja vrednost funkcije je $-\frac94 .$

Ostaje da nađemo sve $x$ za koje je $\sin x=-\frac12 .$ Na trigonometrijskom krugu to su uglovi $-\frac{\pi}{6}$ i $\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6} ,$ a zbog perioda $2\pi$ i svi uglovi koji se od njih razlikuju za ceo broj punih krugova:

x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad \text{ili} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}

Funkcija dostiže najmanju vrednost $-\frac94$ za $x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$ i $x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi ,$ $k\in\mathbb{Z}$ ; obe familije zajedno mogu se zapisati kao $x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+k\pi .$

Započni učenje

Online časovi

98.a

Beleške