5089. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je periodična ako postoji broj $T>0$ takav da za svako $x\in A$ važi $x\pm T\in A$ i $f(x+T)=f(x-T)=f(x) .$ Broj $T$ je period, a najmanji period (ako postoji) zove se osnovni period. Jednostavno rečeno: kada se pomerimo za $T$ levo ili desno, funkcija ima istu vrednost, pa se njen grafik ponavlja.

Rešenje ima dva dela: prvo pokazujemo da je neki broj period (proverom da se vrednost ne menja posle pomeranja), a zatim da manji period ne postoji. Za drugi deo koristimo trik: ako je $T$ period, onda za svako $x$ važi $f(x+T)=f(x) ,$ pa i za jedno pogodno izabrano $x$ ; to nam daje jednačinu po $T .$

Funkcija je definisana na skupu $\mathbb{R} .$ Sinus se ponavlja posle $2\pi ,$ tj. $\sin(\alpha\pm2\pi)=\sin\alpha .$ Kada $x$ pomerimo za $1 ,$ argument $2\pi x$ se pomeri tačno za $2\pi :$

\sin 2\pi(x\pm1)=\sin(2\pi x\pm2\pi)=\sin 2\pi x

Broj $1$ je period. Postoji li manji? Na primer, $T=\frac12$ nije period, jer je $y\left(\frac14\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1 ,$ a $y\left(\frac14+\frac12\right)=\sin\frac{3\pi}{2}=-1 .$

Opšte: neka je $T>0$ bilo koji period. Za $x=\frac14$ mora biti $y\left(\frac14+T\right)=y\left(\frac14\right)=1 .$ Koristimo $\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha :$

\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi T\right)=1 \iff \cos 2\pi T=1 \iff 2\pi T=2k\pi \iff T=k, \quad k\in\mathbb{N}

Svaki period je prirodan broj, pa je najmanji $1 .$ Funkcija je periodična, a njen osnovni period je $T=1 .$

Započni učenje

Online časovi

92.a

Beleške