5088. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicija: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je parna ako je skup $A$ simetričan u odnosu na $0$ (iz $x\in A$ sledi $-x\in A$ ) i ako za svako $x\in A$ važi $f(-x)=f(x) .$ Neparna je ako je $A$ simetričan u odnosu na $0$ i za svako $x\in A$ važi $f(-x)=-f(x) .$ Ako oblast definisanosti nije simetrična, funkcija ne može biti ni parna ni neparna.

Apsolutnu vrednost zapisujemo po definiciji:

|x-1|=\begin{cases} x-1, & \text{za } x\geq 1 \\ -(x-1), & \text{za } x<1 \end{cases}

Koren iz kvadrata je apsolutna vrednost: $\sqrt{u^2}=|u|$ (npr. $\sqrt{(-3)^2}=3$ ). Zato je imenilac $\sqrt{(x-1)^2}=|x-1| ,$ a on je nula za $x=1 .$ Deljenje nulom nije dozvoljeno, pa je oblast definisanosti:

D=\mathbb{R}\setminus\{1\}

Za $x\neq1$ brojilac i imenilac imaju isti činilac $|x-1| ,$ pa se on skraćuje:

y=\frac{x^2|x-1|}{|x-1|}=x^2, \quad x\neq1

Ovo je zamka: funkcija „izgleda” kao $x^2 ,$ koja je parna. Ali skup $D$ nije simetričan: $-1\in D ,$ a $1\notin D .$ Na primer, $y(-1)=1 ,$ a $y(1)$ ne postoji, pa ne može važiti $y(-1)=y(1) .$

Funkcija nije ni parna ni neparna, jer njena oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $0 .$

Započni učenje

Online časovi

91.ž

Beleške