5090. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je periodična ako postoji broj $T>0$ takav da za svako $x\in A$ važi $x\pm T\in A$ i $f(x+T)=f(x-T)=f(x) .$ Broj $T$ je period, a najmanji period (ako postoji) zove se osnovni period. Jednostavno rečeno: kada se pomerimo za $T$ levo ili desno, funkcija ima istu vrednost, pa se njen grafik ponavlja.

Zbir kosinusa i sinusa istog argumenta možemo zapisati kao jedan sinus. Neka je $R=\sqrt{A^2+B^2}>0 .$ Brojevi $\frac AR$ i $\frac BR$ imaju zbir kvadrata $1 ,$ pa postoji ugao $\varphi$ takav da je $\sin\varphi=\frac AR$ i $\cos\varphi=\frac BR .$ Izdvajanjem $R$ i primenom formule za sinus zbira dobijamo:

y=R\left(\sin\varphi\cos\alpha x+\cos\varphi\sin\alpha x\right)=R\sin(\alpha x+\varphi)

Funkcija je definisana na skupu $\mathbb{R} .$ Kada $x$ pomerimo za $\frac{2\pi}{\alpha} ,$ argument $\alpha x+\varphi$ se pomeri tačno za $2\pi ,$ pa se sinus ne menja:

R\sin\left(\alpha\left(x\pm\frac{2\pi}{\alpha}\right)+\varphi\right)=R\sin(\alpha x+\varphi\pm2\pi)=R\sin(\alpha x+\varphi)

Broj $\frac{2\pi}{\alpha}$ je period. Pokažimo da manjeg nema. Neka je $T>0$ bilo koji period. Izaberimo tačku $x_0$ u kojoj je argument jednak $\frac{\pi}{2} ,$ tj. $x_0=\frac{1}{\alpha}\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right)$ ; tu je $y(x_0)=R .$ Iz $y(x_0+T)=y(x_0)$ sledi:

R\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha T\right)=R \iff \cos\alpha T=1 \iff \alpha T=2k\pi \iff T=\frac{2k\pi}{\alpha}, \quad k\in\mathbb{N}

Najmanji pozitivan period se dobija za $k=1 .$ Funkcija je periodična sa osnovnim periodom $T=\frac{2\pi}{\alpha} .$

Započni učenje

Online časovi

92.b

Beleške