5096. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je periodična ako postoji broj $T>0$ takav da za svako $x\in A$ važi $x\pm T\in A$ i $f(x+T)=f(x-T)=f(x) .$ Broj $T$ je period, a najmanji period (ako postoji) zove se osnovni period. Jednostavno rečeno: kada se pomerimo za $T$ levo ili desno, funkcija ima istu vrednost, pa se njen grafik ponavlja.

Funkcija je definisana na skupu $\mathbb{R} .$ Broj $a$ može biti i negativan, pa koristimo $|a| ,$ koje je jednako $a$ za $a>0$ i $-a$ za $a<0$ ; tada je $\frac{a}{|a|}$ jednako $1$ ili $-1 .$ Kada $x$ pomerimo za $\frac{2\pi}{|a|} ,$ argument se pomeri za $\pm2\pi :$

\sin\left(a\left(x\pm\frac{2\pi}{|a|}\right)+b\right)=\sin\left(ax+b\pm\frac{a}{|a|}\cdot2\pi\right)=\sin(ax+b)

Broj $\frac{2\pi}{|a|}$ je period. Neka je $T>0$ bilo koji period. Izaberimo $x_0=\frac{1}{a}\left(\frac{\pi}{2}-b\right) ,$ tako da je $ax_0+b=\frac{\pi}{2}$ i $y(x_0)=1 .$ Iz $y(x_0+T)=y(x_0)$ dobijamo:

\sin\left(\frac{\pi}{2}+aT\right)=1 \iff \cos aT=1 \iff aT=2k\pi \iff T=\frac{2k\pi}{a}, \quad k\in\mathbb{Z}

Pošto $T$ mora biti pozitivan, to je $T=\frac{2n\pi}{|a|} ,$ $n\in\mathbb{N} ,$ a najmanji je za $n=1 .$ Osnovni period je $T=\frac{2\pi}{|a|} .$

Započni učenje

Online časovi

92.v

Beleške