5094. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je periodična ako postoji broj $T>0$ takav da za svako $x\in A$ važi $x\pm T\in A$ i $f(x+T)=f(x-T)=f(x) .$ Broj $T$ je period, a najmanji period (ako postoji) zove se osnovni period. Jednostavno rečeno: kada se pomerimo za $T$ levo ili desno, funkcija ima istu vrednost, pa se njen grafik ponavlja.

Tangens zahteva $\cos x\neq0 ,$ a kotangens $\sin x\neq0 ,$ pa je funkcija definisana za $x\neq\frac{k\pi}{2} ,$ $k\in\mathbb{Z} .$ Svodimo na zajednički imenilac, koristimo $\sin^2x+\cos^2x=1$ i $2\sin x\cos x=\sin2x :$

y=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}

Ako $x$ nije oblika $\frac{k\pi}{2} ,$ nisu ni $x\pm\pi ,$ pa je prvi uslov definicije ispunjen za $T=\pi .$ Kada $x$ pomerimo za $\pi ,$ argument $2x$ se pomeri za $2\pi :$

y(x\pm\pi)=\frac{2}{\sin(2x\pm2\pi)}=\frac{2}{\sin2x}=y(x)

Broj $\pi$ je period. Manji ne postoji: neka je $T>0$ bilo koji period. U tački $\frac{\pi}{4}$ je $y=\frac{2}{\sin\frac{\pi}{2}}=2 ,$ pa iz $y\left(\frac{\pi}{4}+T\right)=2$ dobijamo:

\frac{2}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+2T\right)}=2 \iff \cos2T=1 \iff 2T=2k\pi \iff T=k\pi, \quad k\in\mathbb{N}

Na primer, $T=\frac{\pi}{2}$ nije period, jer bi $y\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{\sin\frac{3\pi}{2}}=-2\neq2 .$ Funkcija je periodična sa osnovnim periodom $\pi .$

Započni učenje

Online časovi

92.g

Beleške