5091. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je periodična ako postoji broj $T>0$ takav da za svako $x\in A$ važi $x\pm T\in A$ i $f(x+T)=f(x-T)=f(x) .$ Broj $T$ je period, a najmanji period (ako postoji) zove se osnovni period. Jednostavno rečeno: kada se pomerimo za $T$ levo ili desno, funkcija ima istu vrednost, pa se njen grafik ponavlja.

Rešenje ima dva dela: prvo pokazujemo da je neki broj period (proverom da se vrednost ne menja posle pomeranja), a zatim da manji period ne postoji. Za drugi deo koristimo trik: ako je $T$ period, onda za svako $x$ važi $f(x+T)=f(x) ,$ pa i za jedno pogodno izabrano $x$ ; to nam daje jednačinu po $T .$

Funkcija je definisana na skupu $\mathbb{R} .$ Kosinus ima period $2\pi ,$ ali kvadrat se ponavlja češće: pomeranjem za $\pi$ kosinus samo menja znak ( $\cos(x\pm\pi)=-\cos x$ ), a kvadriranjem znak nestaje:

\cos^2(x\pm\pi)=(-\cos x)^2=\cos^2x

Broj $\pi$ je period. Neka je $T>0$ bilo koji period. Za $x=0$ mora biti $y(T)=y(0)=\cos^20=1 :$

\cos^2T=1 \iff \cos T=1 \ \text{ ili } \ \cos T=-1 \iff T=k\pi, \quad k\in\mathbb{N}

Najmanji pozitivan period je $\pi .$ Funkcija $y=\cos^2x$ je periodična sa osnovnim periodom $\pi .$

Započni učenje

Online časovi

92.d

Beleške