5093. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je periodična ako postoji broj $T>0$ takav da za svako $x\in A$ važi $x\pm T\in A$ i $f(x+T)=f(x-T)=f(x) .$ Broj $T$ je period, a najmanji period (ako postoji) zove se osnovni period. Jednostavno rečeno: kada se pomerimo za $T$ levo ili desno, funkcija ima istu vrednost, pa se njen grafik ponavlja.

Funkciju najpre pojednostavljujemo. Dodamo i oduzmemo $2\sin^2x\cos^2x$ da bismo dobili kvadrat zbira, i koristimo $\sin^2x+\cos^2x=1 :$

y=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=1-2\sin^2x\cos^2x

Kako je $2\sin x\cos x=\sin2x ,$ to je $2\sin^2x\cos^2x=\frac12\sin^22x .$ Zatim koristimo $\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}$ za $\alpha=2x :$

y=1-\frac12\sin^22x=1-\frac12\cdot\frac{1-\cos4x}{2}=\frac34+\frac14\cos4x

Kosinus se ponavlja posle $2\pi ,$ a argument $4x$ se pomeri za $2\pi$ kada se $x$ pomeri za $\frac{\pi}{2} :$

\frac34+\frac14\cos4\left(x\pm\frac{\pi}{2}\right)=\frac34+\frac14\cos(4x\pm2\pi)=\frac34+\frac14\cos4x

Broj $\frac{\pi}{2}$ je period. Neka je $T>0$ bilo koji period. Za $x=0$ mora biti $y(T)=y(0)=1 :$

\frac34+\frac14\cos4T=1 \iff \cos4T=1 \iff 4T=2k\pi \iff T=\frac{k\pi}{2}, \quad k\in\mathbb{N}

Funkcija je periodična, a njen osnovni period je $\frac{\pi}{2} .$

Započni učenje

Online časovi

92.e

Beleške