5130. Svojstva realnih funkcija

Kvadratni koren postoji kada broj ispod njega nije negativan. Potkorene veličine pojednostavljujemo: prva po formuli $\sin^2x+\cos^2x=1 ,$ a druga po formuli $\cos2x=2\cos^2x-1 :$

1-\cos^2x=\sin^2x\geq0, \qquad \frac{1+\cos2x}{2}=\frac{1+2\cos^2x-1}{2}=\cos^2x\geq0

Obe potkorene veličine su kvadrati, pa nisu negativne ni za jedno $x .$ Funkcija je definisana za svako $x\in\mathbb{R} .$

Koren iz kvadrata nije sam broj, nego njegova apsolutna vrednost: $\sqrt{u^2}=|u|$ (npr. $\sqrt{(-3)^2}=3$ ). Apsolutne vrednosti zapisujemo po definiciji:

|\sin x|=\begin{cases} \sin x, & \text{za } \sin x\geq0 \\ -\sin x, & \text{za } \sin x<0 \end{cases} \qquad |\cos x|=\begin{cases} \cos x, & \text{za } \cos x\geq0 \\ -\cos x, & \text{za } \cos x<0 \end{cases}

Funkcija dobija mnogo jednostavniji oblik:

f(x)=|\sin x|+|\cos x|

Podsetimo se: nula funkcije $f:A\to\mathbb{R}$ je svaki realan broj $x_0\in A$ za koji je $f(x_0)=0 .$ To su apscise tačaka u kojima grafik seče $x$ -osu. Ispitati znak znači utvrditi za koje $x$ je $f(x)>0$ (grafik iznad $x$ -ose), a za koje $f(x)<0$ (grafik ispod $x$ -ose).

Oba sabirka su nenegativna, pa bi zbir bio nula samo kada bi oba bila nula, tj. kada bi istovremeno bilo $\sin x=0$ i $\cos x=0 .$ To je nemoguće, jer bi tada bilo $\sin^2x+\cos^2x=0 ,$ a ovaj zbir je uvek $1 .$ Funkcija nema nula i pozitivna je za svako $x .$

Podsetimo se definicija: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je parna ako je skup $A$ simetričan u odnosu na $0$ (iz $x\in A$ sledi $-x\in A$ ) i ako za svako $x\in A$ važi $f(-x)=f(x) .$ Neparna je ako je $A$ simetričan u odnosu na $0$ i za svako $x\in A$ važi $f(-x)=-f(x) .$ Ako oblast definisanosti nije simetrična, funkcija ne može biti ni parna ni neparna.

Skup $\mathbb{R}$ je simetričan. Iz definicije apsolutne vrednosti sledi da suprotni brojevi imaju istu apsolutnu vrednost ( $|-u|=|u|$ ). Kako je $\sin(-x)=-\sin x$ i $\cos(-x)=\cos x :$

f(-x)=|\sin(-x)|+|\cos(-x)|=|-\sin x|+|\cos x|=|\sin x|+|\cos x|=f(x)

Funkcija je parna. Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je periodična ako postoji broj $T>0$ takav da za svako $x\in A$ važi $x\pm T\in A$ i $f(x+T)=f(x-T)=f(x) .$ Broj $T$ je period, a najmanji period (ako postoji) zove se osnovni period. Jednostavno rečeno: kada se pomerimo za $T$ levo ili desno, funkcija ima istu vrednost, pa se njen grafik ponavlja.

Sinus i kosinus imaju period $2\pi ,$ ali ovde je period manji. Pri pomeranju za $\frac{\pi}{2}$ sinus i kosinus „zamene uloge”, uz moguću promenu znaka: $\sin\left(x\pm\frac{\pi}{2}\right)=\pm\cos x$ i $\cos\left(x\pm\frac{\pi}{2}\right)=\mp\sin x .$ Apsolutna vrednost briše znak, a zbir ne zavisi od redosleda sabiraka:

f\left(x\pm\frac{\pi}{2}\right)=|\pm\cos x|+|\mp\sin x|=|\cos x|+|\sin x|=f(x)

Broj $\frac{\pi}{2}$ je period. Da li postoji manji? Ako je $T>0$ period, mora biti $f(T)=f(0)=|0|+|1|=1 .$ Kvadriramo jednakost $|\sin T|+|\cos T|=1 :$

\sin^2T+2|\sin T|\,|\cos T|+\cos^2T=1 \iff 1+2|\sin T|\,|\cos T|=1 \iff |\sin T|\,|\cos T|=0

Dakle, $\sin T=0$ ili $\cos T=0 ,$ a to važi samo za $T=\frac{k\pi}{2} ,$ $k\in\mathbb{N} .$ Najmanji takav broj je $\frac{\pi}{2} .$ Na primer, $T=\frac{\pi}{4}$ nije period, jer je $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\neq1=f(0) .$

Odgovor: funkcija je definisana i pozitivna za svako $x\in\mathbb{R} ,$ nema nula, parna je i periodična sa osnovnim periodom $\frac{\pi}{2} .$

Započni učenje

Online časovi

100

Beleške