5128. Svojstva realnih funkcija

Kako su $a,b>0 ,$ imenilac je $ax^2+b\geq b>0 ,$ pa je funkcija definisana za svako $x .$ Za $x\leq0$ vrednost nije pozitivna, pa najveću vrednost tražimo među pozitivnim $x .$

Pretpostavimo da je najveća vrednost $\frac{1}{2\sqrt{ab}}$ i proverimo to tako što ćemo od nje oduzeti $y$ i pokazati da razlika nije negativna. Svodimo na zajednički imenilac:

\frac{1}{2\sqrt{ab}}-\frac{x}{ax^2+b}=\frac{ax^2+b-2\sqrt{ab}\,x}{2\sqrt{ab}\,(ax^2+b)}

Brojilac je potpun kvadrat, jer je $\left(\sqrt a\,x-\sqrt b\right)^2=ax^2-2\sqrt{ab}\,x+b :$

\frac{1}{2\sqrt{ab}}-\frac{x}{ax^2+b}=\frac{\left(\sqrt a\,x-\sqrt b\right)^2}{2\sqrt{ab}\,(ax^2+b)}\geq0

Brojilac (kvadrat) nije negativan, a imenilac je pozitivan, pa je $y\leq\frac{1}{2\sqrt{ab}}$ za svako $x .$ Jednakost važi kada je brojilac nula: $\sqrt a\,x=\sqrt b ,$ tj. $x=\sqrt{\frac ba} .$

Najveća vrednost funkcije je $\frac{1}{2\sqrt{ab}}$ i dostiže se za $x=\sqrt{\frac ba} .$ Na primer, za $a=b=1$ funkcija $\frac{x}{x^2+1}$ ima najveću vrednost $\frac12$ u tački $x=1 .$

Započni učenje

Online časovi

99.g

Beleške