5159. Složena funkcija i inverzna funkcija

Ideja: izraz u zagradi označimo novim slovom $t ,$ iz te veze izrazimo $x$ preko $t$ i zamenimo u desnu stranu. Tako saznajemo šta funkcija $f$ radi sa proizvoljnim brojem $t .$ Pošto ime promenljive nije bitno (na primer, $f(t)=t^2$ i $f(x)=x^2$ su ista funkcija), na kraju slovo $t$ zamenimo slovom $x .$

Ovde je teško izraziti $x$ iz smene $t=x+\frac1x ,$ pa koristimo trik: desnu stranu napišemo pomoću izraza $x+\frac1x .$ Kvadriramo ga po formuli $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ,$ pri čemu je srednji član $2\cdot x\cdot\frac1x=2 :$

\left(x+\frac1x\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}

Odatle je $x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2 ,$ pa početna jednakost glasi:

f\left(x+\frac1x\right)=\left(x+\frac1x\right)^2-2 \implies f(t)=t^2-2

Još treba videti koje vrednosti uopšte može da ima $t=x+\frac1x ,$ jer je samo za njih funkcija zadata. Za $x>0$ posmatramo razliku $t-2 :$

x+\frac1x-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}\geq0 \implies x+\frac1x\geq2

Za $x<0$ su i $x$ i $\frac1x$ negativni, pa je izraz suprotan izrazu za pozitivan broj $-x :$ $x+\frac1x=-\left((-x)+\frac{1}{-x}\right)\leq-2 .$ Na primer: $x=1$ daje $t=2 ,$ $x=2$ daje $t=2{,}5 ,$ $x=-2$ daje $t=-2{,}5 .$ Vrednosti između $-2$ i $2$ se nikad ne dobijaju.

Provera: za $x=2$ početna jednakost daje $f\left(\frac52\right)=4+\frac14=\frac{17}{4} ,$ a formula $f\left(\frac52\right)=\frac{25}{4}-2=\frac{17}{4} .$ Slaže se.

Rešenje: $f(x)=x^2-2 ,$ za $x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty) .$

Započni učenje

Online časovi

110.z

Beleške