5157. Složena funkcija i inverzna funkcija

Ideja: izraz u zagradi označimo novim slovom $t ,$ iz te veze izrazimo $x$ preko $t$ i zamenimo u desnu stranu. Tako saznajemo šta funkcija $f$ radi sa proizvoljnim brojem $t .$ Pošto ime promenljive nije bitno (na primer, $f(t)=t^2$ i $f(x)=x^2$ su ista funkcija), na kraju slovo $t$ zamenimo slovom $x .$

Uvodimo smenu $t=1+\frac1x .$ Oduzmemo $1$ i uzmemo recipročnu vrednost:

t=1+\frac1x \implies \frac1x=t-1 \implies x=\frac{1}{t-1}

To je moguće za $t\neq1$ ; i zaista, $\frac1x$ nikad nije nula, pa $t$ nikad nije $1 .$ Zamenjujemo $x$ u desnu stranu:

f(t)=\left(\frac{1}{t-1}\right)^2-1=\frac{1}{(t-1)^2}-1

Svodimo na zajednički imenilac $(t-1)^2$ i u brojiocu kvadriramo $(t-1)^2=t^2-2t+1 :$

f(t)=\frac{1-(t-1)^2}{(t-1)^2}=\frac{1-t^2+2t-1}{(t-1)^2}=\frac{2t-t^2}{(t-1)^2}

Provera: za $x=1$ početna jednakost daje $f(2)=0 ,$ a formula $f(2)=\frac{4-4}{1}=0 .$ Za $x=2 :$ $f\left(\frac32\right)=3$ i $\frac{3-\frac94}{\frac14}=\frac{\frac34}{\frac14}=3 .$ Slaže se.

Rešenje: $f(x)=\frac{2x-x^2}{(x-1)^2} ,$ $x\neq1 .$

Započni učenje

Online časovi

110.i

Beleške