5161. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C ,$ složena funkcija $g\circ f$ definisana je sa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ za svako $x\in A .$ Jednostavno rečeno: prvo izračunamo unutrašnju funkciju $f(x) ,$ a zatim dobijeni rezultat ubacimo u spoljašnju funkciju $g .$ Zato je složena funkcija definisana samo za one $x$ za koje je $f(x)$ definisano i vrednost $f(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $g .$

Obe funkcije posmatramo na skupu $A=\mathbb{R}\setminus\{0,1\} .$ Prvo proverimo da obe funkcije ne izlaze iz tog skupa. Vrednost $f(x)=\frac{1}{1-x}$ nikad nije $0$ (brojilac je $1$ ), a jednaka je $1$ samo za $x=0 ,$ koji je izbačen. Vrednost $g(x)=1-\frac1x$ nikad nije $1$ (jer $\frac1x\neq0$ ), a jednaka je $0$ samo za $x=1 ,$ koji je izbačen. Dakle, i $f(x)$ i $g(x)$ uvek pripadaju skupu $A ,$ pa složene funkcije postoje za svako $x\in A .$

Funkcija $f\circ g :$ u $f$ umesto $x$ upisujemo $g(x)=\frac{x-1}{x} .$ Imenilac svodimo na zajednički imenilac $x :$

(f\circ g)(x)=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}=\frac{1}{\frac{x-(x-1)}{x}}=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x

Funkcija $g\circ f :$ zapišimo $g(u)=\frac{u-1}{u}=1-\frac1u .$ Za $u=f(x)$ je $\frac1u=1-x$ (recipročna vrednost razlomka $\frac{1}{1-x}$ ), pa je:

(g\circ f)(x)=1-\frac{1}{f(x)}=1-(1-x)=x

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Upravo smo dobili $g(f(x))=x$ i $f(g(x))=x$ za svako $x\in A :$ funkcija $g$ „poništava” $f ,$ i obrnuto. To su tačno uslovi iz definicije inverzne funkcije. Ipak, proverimo da je $f$ bijekcija i odredimo inverznu funkciju i direktno.

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Rešavamo jednačinu $\frac{1}{1-x}=y$ za $y\in A .$ Kako je $y\neq0 ,$ možemo uzeti recipročnu vrednost obe strane:

1-x=\frac1y \implies x=1-\frac1y=\frac{y-1}{y}

Za svako $y\in A$ dobili smo tačno jedno rešenje (koje opet pripada skupu $A$ ), pa je $f$ bijekcija i važi:

f^{-1}(x)=\frac{x-1}{x}=g(x)

Na isti način za $g :$ rešavamo $1-\frac1x=y ,$ odakle je $\frac1x=1-y$ i $x=\frac{1}{1-y}$ (moguće jer je $y\neq1$ ). Rešenje je jedinstveno, pa:

g^{-1}(x)=\frac{1}{1-x}=f(x)

Na kraju, $g^{-1}\circ f^{-1} :$ kako je $g^{-1}=f$ i $f^{-1}=g ,$ ova funkcija je isto što i $f\circ g ,$ koju smo već izračunali:

(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=g^{-1}(f^{-1}(x))=f(g(x))=x

Provera za $x=2 :$ $g(2)=\frac12 ,$ $f\left(\frac12\right)=\frac{1}{\frac12}=2 .$ Takođe $f(2)=-1 ,$ $g(-1)=\frac{-2}{-1}=2 .$ U oba slučaja vratili smo se na $2 .$

Rešenje: $(f\circ g)(x)=x ,$ $(g\circ f)(x)=x ,$ $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{x} ,$ $g^{-1}(x)=\frac{1}{1-x} ,$ $(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=x ,$ za $x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\} .$

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$

Započni učenje

Online časovi

111

Beleške