5160. Složena funkcija i inverzna funkcija

Ideja: izraz u zagradi označimo novim slovom $t ,$ iz te veze izrazimo $x$ preko $t$ i zamenimo u desnu stranu. Tako saznajemo šta funkcija $f$ radi sa proizvoljnim brojem $t .$ Pošto ime promenljive nije bitno (na primer, $f(t)=t^2$ i $f(x)=x^2$ su ista funkcija), na kraju slovo $t$ zamenimo slovom $x .$

Uvodimo smenu $t=\frac{3x-1}{x+3}$ i iz nje izražavamo $x .$ Pomnožimo obe strane sa $x+3 :$

t(x+3)=3x-1 \implies tx+3t=3x-1

Članove sa $x$ prebacimo na levu, a ostale na desnu stranu, pa izvučemo $x$ ispred zagrade:

tx-3x=-1-3t \implies x(t-3)=-(3t+1) \implies x=\frac{3t+1}{3-t}

Deljenje sa $3-t$ je moguće za $t\neq3 .$ (Vrednost $t=3$ se zaista ne dobija: iz $\frac{3x-1}{x+3}=3$ bi sledilo $3x-1=3x+9 ,$ tj. $-1=9 .$ ) Zamenjujemo $x$ u desnu stranu $x-3$ i svodimo na zajednički imenilac:

f(t)=\frac{3t+1}{3-t}-3=\frac{3t+1-3(3-t)}{3-t}=\frac{3t+1-9+3t}{3-t}=\frac{6t-8}{3-t}

Provera: za $x=1$ početna jednakost daje $f\left(\frac12\right)=-2 ,$ a formula $f\left(\frac12\right)=\frac{3-8}{3-\frac12}=\frac{-5}{\frac52}=-2 .$ Slaže se.

Rešenje: $f(x)=\frac{6x-8}{3-x} ,$ $x\neq3 .$

Započni učenje

Online časovi

110.ž

Beleške