5155. Složena funkcija i inverzna funkcija

Ideja: izraz u zagradi označimo novim slovom $t ,$ iz te veze izrazimo $x$ preko $t$ i zamenimo u desnu stranu. Tako saznajemo šta funkcija $f$ radi sa proizvoljnim brojem $t .$ Pošto ime promenljive nije bitno (na primer, $f(t)=t^2$ i $f(x)=x^2$ su ista funkcija), na kraju slovo $t$ zamenimo slovom $x .$

Uvodimo smenu $t=\frac{3x-1}{x} .$ Razlomak delimo član po član, pa je $t=3-\frac1x .$ Iz toga izražavamo $x :$

t=3-\frac1x \implies \frac1x=3-t \implies x=\frac{1}{3-t}

Poslednji korak je moguć samo ako je $3-t\neq0 ,$ tj. $t\neq3 .$ To ima smisla: $\frac1x$ nikad nije nula, pa $t=3-\frac1x$ nikad nije $3 .$ Zamenjujemo $x$ u desnu stranu $2x :$

f(t)=2\cdot\frac{1}{3-t}=\frac{2}{3-t}, \quad t\neq3

Provera: za $x=1$ početna jednakost daje $f(2)=2 ,$ a formula $f(2)=\frac{2}{3-2}=2 .$ Slaže se.

Rešenje: $f(x)=\frac{2}{3-x} ,$ $x\neq3 .$

Započni učenje

Online časovi

110.e

Beleške