101

Oblast definisanosti: koren $\sqrt{x^2+1}$ uvek postoji, a imenioci $u$ i $v$ ne smeju biti nula. Kako je $uv=1 ,$ nijedan od njih nije nula. Štaviše, oba su pozitivna: proizvod im je pozitivan, pa su istog znaka, a zbir $u+v=2\sqrt{x^2+1}$ je pozitivan. Funkcija je definisana za svako $x\in\mathbb{R} .$

Dakle, $f(x)=4x^2+2 .$ Provera za $x=0 :$ $f(0)=\frac11+\frac11=2 ,$ a $4\cdot0+2=2 .$ Podsetimo se: nula funkcije $f:A\to\mathbb{R}$ je svaki realan broj $x_0\in A$ za koji je $f(x_0)=0 .$ To su apscise tačaka u kojima grafik seče $x$-osu. Ispitati znak znači utvrditi za koje $x$ je $f(x)>0$ (grafik iznad $x$-ose), a za koje $f(x)<0$ (grafik ispod $x$-ose).

Kako je $4x^2\geq0 ,$ to je $f(x)=4x^2+2\geq2>0 .$ Funkcija nema nula i pozitivna je za svako $x .$

Podsetimo se definicija: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je parna ako je skup $A$ simetričan u odnosu na $0$ (iz $x\in A$ sledi $-x\in A$) i ako za svako $x\in A$ važi $f(-x)=f(x) .$ Neparna je ako je $A$ simetričan u odnosu na $0$ i za svako $x\in A$ važi $f(-x)=-f(x) .$ Ako oblast definisanosti nije simetrična, funkcija ne može biti ni parna ni neparna.

Odgovor: funkcija je definisana i pozitivna za svako $x\in\mathbb{R} ,$ nema nula i parna je.