5129. Svojstva realnih funkcija

Zapis $\log_2^4x$ znači $(\log_2x)^4 ,$ a $\log_2^2x$ znači $(\log_2x)^2 .$ Svuda se pojavljuje $\log_2x ,$ pa uvodimo smenu $z=\log_2x .$ Kako je $\log_21=0$ i $\log_264=6 ,$ a logaritam raste, uslov $1\leq x\leq64$ postaje $0\leq z\leq6 .$

Logaritam količnika je razlika logaritama, a $\log_28=3 :$

\log_2\frac8x=\log_28-\log_2x=3-z

Uvrštavamo i sređujemo; posle izvlačenja $z^2$ u zagradi prepoznajemo kvadrat razlike $z^2-12z+36=(z-6)^2 :$

y=z^4+12z^2(3-z)=z^4-12z^3+36z^2=z^2(z^2-12z+36)=z^2(z-6)^2=\left[z(6-z)\right]^2

Za $0\leq z\leq6$ izraz $z(6-z)$ nije negativan, pa je $y$ najveće kada je $z(6-z)$ najveće. Dopunjavanjem do potpunog kvadrata dobijamo:

z(6-z)=6z-z^2=9-(z-3)^2\leq9 \implies y\leq9^2=81

Jednakost važi kada je $(z-3)^2=0 ,$ tj. za $z=3 .$ Vraćamo smenu: $\log_2x=3 ,$ pa je $x=2^3=8 ,$ što je u intervalu $[1,64] .$ Provera: $y(8)=3^4+12\cdot9\cdot0=81 .$

Najveća vrednost funkcije na intervalu $[1,64]$ je $81 ,$ a dostiže se za $x=8 .$

Započni učenje

Online časovi

99.v

Beleške