5119. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicija: funkcija $f$ je strogo rastuća na skupu ako za svaka dva broja $x_1<x_2$ iz tog skupa važi $f(x_1)<f(x_2) ,$ a strogo opadajuća ako iz $x_1<x_2$ sledi $f(x_1)>f(x_2) .$ Dakle, uzimamo dva proizvoljna broja $x_1<x_2$ i upoređujemo vrednosti funkcije u njima; najlakše je ispitati znak razlike $f(x_2)-f(x_1) :$ ako je pozitivna, funkcija raste, a ako je negativna, opada.

Funkcija je definisana za $x\neq1 .$ Za $x_1,x_2\neq1$ razliku svodimo na zajednički imenilac:

y(x_2)-y(x_1)=\frac{(5-2x_2)(x_1-1)-(5-2x_1)(x_2-1)}{(x_1-1)(x_2-1)}

Množimo zagrade u brojiocu; članovi $-2x_1x_2$ i $-5$ se potiru:

(5x_1-5-2x_1x_2+2x_2)-(5x_2-5-2x_1x_2+2x_1)=3x_1-3x_2=-3(x_2-x_1)

Dakle:

y(x_2)-y(x_1)=\frac{-3(x_2-x_1)}{(x_1-1)(x_2-1)}

Neka je $x_1<x_2 ,$ pa je brojilac negativan. Ako su oba broja sa iste strane broja $1 ,$ činioci $x_1-1$ i $x_2-1$ su istog znaka, pa je imenilac pozitivan. Tada je $y(x_2)-y(x_1)<0 .$

Funkcija strogo opada na intervalu $(-\infty,1)$ i na intervalu $(1,+\infty) .$ Na celoj oblasti definisanosti nije opadajuća, jer je $y(0)=-5 ,$ a $y(2)=1 .$

Započni učenje

Online časovi

97.đ

Beleške