5118. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicija: funkcija $f$ je strogo rastuća na skupu ako za svaka dva broja $x_1<x_2$ iz tog skupa važi $f(x_1)<f(x_2) ,$ a strogo opadajuća ako iz $x_1<x_2$ sledi $f(x_1)>f(x_2) .$ Dakle, uzimamo dva proizvoljna broja $x_1<x_2$ i upoređujemo vrednosti funkcije u njima; najlakše je ispitati znak razlike $f(x_2)-f(x_1) :$ ako je pozitivna, funkcija raste, a ako je negativna, opada.

Funkcija je definisana za $x\neq3 .$ Za dva broja $x_1,x_2\neq3$ razliku svodimo na zajednički imenilac:

y(x_2)-y(x_1)=\frac{3x_2-1}{3-x_2}-\frac{3x_1-1}{3-x_1}=\frac{(3x_2-1)(3-x_1)-(3x_1-1)(3-x_2)}{(3-x_1)(3-x_2)}

Množimo zagrade u brojiocu; članovi $-3x_1x_2$ i $-3$ se potiru:

(9x_2-3x_1x_2-3+x_1)-(9x_1-3x_1x_2-3+x_2)=8x_2-8x_1=8(x_2-x_1)

Dakle:

y(x_2)-y(x_1)=\frac{8(x_2-x_1)}{(3-x_1)(3-x_2)}

Neka je $x_1<x_2 ,$ pa je brojilac pozitivan. Ako su oba broja manja od $3 ,$ oba činioca u imeniocu su pozitivna; ako su oba veća od $3 ,$ oba su negativna. U oba slučaja imenilac je pozitivan, pa je $y(x_2)>y(x_1) .$

Funkcija strogo raste na intervalu $(-\infty,3)$ i na intervalu $(3,+\infty) .$ Pažnja: na celoj oblasti definisanosti nije rastuća, jer je npr. $y(2)=5 ,$ a $y(4)=-11$ ; u tački $x=3$ grafik „skače”.

Započni učenje

Online časovi

97.d

Beleške