5114. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicija: funkcija $f$ je strogo rastuća na skupu ako za svaka dva broja $x_1<x_2$ iz tog skupa važi $f(x_1)<f(x_2) ,$ a strogo opadajuća ako iz $x_1<x_2$ sledi $f(x_1)>f(x_2) .$ Dakle, uzimamo dva proizvoljna broja $x_1<x_2$ i upoređujemo vrednosti funkcije u njima; najlakše je ispitati znak razlike $f(x_2)-f(x_1) :$ ako je pozitivna, funkcija raste, a ako je negativna, opada.

Pre dokaza pogledajmo nekoliko vrednosti, da vidimo šta se dešava:

f\left(\frac12\right)=\frac{1}{\frac54}=0{,}8, \qquad f(1)=\frac22=1, \qquad f(2)=\frac45=0{,}8, \qquad f(3)=\frac{6}{10}=0{,}6

Vrednosti rastu do $x=1 ,$ a zatim opadaju. Dokazujemo to u opštem slučaju. Neka su $x_1<x_2 .$ Razliku svodimo na zajednički imenilac:

f(x_1)-f(x_2)=\frac{2x_1}{1+x_1^2}-\frac{2x_2}{1+x_2^2}=\frac{2x_1(1+x_2^2)-2x_2(1+x_1^2)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)}

Brojilac sređujemo: oslobađamo se zagrada, a zatim grupišemo članove tako da se izdvoji zajednički činilac $x_2-x_1 :$

2x_1+2x_1x_2^2-2x_2-2x_1^2x_2=-2(x_2-x_1)+2x_1x_2(x_2-x_1)=2(x_2-x_1)(x_1x_2-1)

Dakle:

f(x_1)-f(x_2)=\frac{2(x_2-x_1)(x_1x_2-1)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)}

Imenilac je pozitivan, a $x_2-x_1>0$ jer je $x_1<x_2 .$ Zato razlika $f(x_1)-f(x_2)$ ima isti znak kao $x_1x_2-1 .$

Ako su oba broja u $(0,1) ,$ njihov proizvod je manji od $1$ (npr. $0{,}5\cdot0{,}8=0{,}4$ ), pa je $x_1x_2-1<0 :$

f(x_1)-f(x_2)<0 \implies f(x_1)<f(x_2)

Ako su oba broja veća od $1 ,$ proizvod je veći od $1$ (npr. $2\cdot3=6$ ), pa je $x_1x_2-1>0 :$

f(x_1)-f(x_2)>0 \implies f(x_1)>f(x_2)

Prema definiciji, funkcija $f$ strogo raste na intervalu $(0,1)$ i strogo opada na intervalu $(1,+\infty) ,$ što je i trebalo dokazati.

Započni učenje

Online časovi

95

Beleške