5115. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicija: funkcija $f$ je strogo rastuća na skupu ako za svaka dva broja $x_1<x_2$ iz tog skupa važi $f(x_1)<f(x_2) ,$ a strogo opadajuća ako iz $x_1<x_2$ sledi $f(x_1)>f(x_2) .$ Dakle, uzimamo dva proizvoljna broja $x_1<x_2$ i upoređujemo vrednosti funkcije u njima; najlakše je ispitati znak razlike $f(x_2)-f(x_1) :$ ako je pozitivna, funkcija raste, a ako je negativna, opada.

Neka je $x_1<x_2 .$ Razliku vrednosti grupišemo i koristimo formulu za razliku kubova $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) :$

f(x_2)-f(x_1)=(x_2^3-x_1^3)-3(x_2-x_1)=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)-3(x_2-x_1)=(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3)

Kako je $x_2-x_1>0 ,$ znak razlike određuje izraz $x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3 .$ Njegov znak procenjujemo na svakom intervalu posebno.

Interval $(-\infty,-1) :$ ako su $x_1,x_2<-1 ,$ onda su njihovi kvadrati veći od $1 ,$ a i proizvod dva broja manja od $-1$ je veći od $1$ (npr. $(-2)\cdot(-3)=6$ ). Zbir tri broja veća od $1$ veći je od $3 :$

x_1^2+x_1x_2+x_2^2>1+1+1=3 \implies f(x_2)-f(x_1)>0

Interval $(1,+\infty) :$ na isti način, za $x_1,x_2>1$ su $x_1^2 ,$ $x_2^2$ i $x_1x_2$ veći od $1 ,$ pa je opet $f(x_2)>f(x_1) .$ Funkcija strogo raste na $(-\infty,-1)$ i na $(1,+\infty) .$

Interval $(-1,1) :$ sada su $x_1^2<1$ i $x_2^2<1 .$ Za proizvod koristimo $(x_1-x_2)^2\geq0 ,$ odakle je $2x_1x_2\leq x_1^2+x_2^2<2 ,$ tj. $x_1x_2<1 .$ Zbir je manji od $3 :$

x_1^2+x_1x_2+x_2^2<3 \implies f(x_2)-f(x_1)<0

Funkcija strogo opada na $(-1,1) .$ Nule nalazimo izdvajanjem $x$ i formulom za razliku kvadrata:

x^3-3x=x(x^2-3)=x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)=0 \iff x=-\sqrt3,\ x=0 \ \text{ ili } \ x=\sqrt3

Znak proizvoda određujemo tabelom (paran broj minusa daje plus):

(-\infty,-\sqrt3)

(-\sqrt3,0)

(0,\sqrt3)

(\sqrt3,+\infty)

x+\sqrt3

-

+

+

+

x

-

-

+

+

x-\sqrt3

-

-

-

+

f(x)

-

+

-

+

Za skicu su korisne i vrednosti u tačkama u kojima se rašćenje menja u opadanje i obrnuto:

f(-1)=-1+3=2, \qquad f(1)=1-3=-2

Nule funkcije su $-\sqrt3 ,$ $0$ i $\sqrt3$ ; funkcija je pozitivna za $x\in(-\sqrt3,0)\cup(\sqrt3,+\infty) ,$ a negativna za $x\in(-\infty,-\sqrt3)\cup(0,\sqrt3) .$ Grafik dolazi odozdo, raste kroz $(-\sqrt3,0)$ do tačke $(-1,2) ,$ zatim opada kroz koordinatni početak do tačke $(1,-2) ,$ pa ponovo raste kroz $(\sqrt3,0) .$

Započni učenje

Online časovi

96

Beleške