5116. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicija: funkcija $f$ je strogo rastuća na skupu ako za svaka dva broja $x_1<x_2$ iz tog skupa važi $f(x_1)<f(x_2) ,$ a strogo opadajuća ako iz $x_1<x_2$ sledi $f(x_1)>f(x_2) .$ Dakle, uzimamo dva proizvoljna broja $x_1<x_2$ i upoređujemo vrednosti funkcije u njima; najlakše je ispitati znak razlike $f(x_2)-f(x_1) :$ ako je pozitivna, funkcija raste, a ako je negativna, opada.

Funkciju pojednostavljujemo svođenjem na zajednički imenilac, uz $\sin^2x+\cos^2x=1$ i $2\sin x\cos x=\sin2x :$

y=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin2x}

Ponašanje funkcije zavisi od imenioca $\sin2x :$ kada imenilac raste, razlomak opada, i obrnuto (za pozitivne imenioce). Za $0<x<\frac{\pi}{2}$ je $0<2x<\pi ,$ pa je $\sin2x>0 .$ Sinus raste na $\left(0,\frac{\pi}{2}\right] ,$ a opada na $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right)$ ; zato posmatramo dva dela, za $2x\leq\frac{\pi}{2}$ i $2x\geq\frac{\pi}{2} ,$ tj. za $x\leq\frac{\pi}{4}$ i $x\geq\frac{\pi}{4} .$

Neka je $0<x_1<x_2\leq\frac{\pi}{4} .$ Tada je $0<2x_1<2x_2\leq\frac{\pi}{2} ,$ a tu sinus raste, pa imenilac raste i razlomak opada:

0<\sin2x_1<\sin2x_2 \implies \frac{2}{\sin2x_1}>\frac{2}{\sin2x_2} \implies y(x_1)>y(x_2)

Neka je $\frac{\pi}{4}\leq x_1<x_2<\frac{\pi}{2} .$ Tada je $\frac{\pi}{2}\leq2x_1<2x_2<\pi ,$ gde sinus opada, pa imenilac opada i razlomak raste:

\sin2x_1>\sin2x_2>0 \implies \frac{2}{\sin2x_1}<\frac{2}{\sin2x_2} \implies y(x_1)<y(x_2)

Primer: $y\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{2}{\sin\frac{\pi}{6}}=4 ,$ $y\left(\frac{\pi}{4}\right)=2 ,$ $y\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\frac{2}{\sin\frac{5\pi}{6}}=4 .$ Funkcija strogo opada na intervalu $\left(0,\frac{\pi}{4}\right] ,$ a strogo raste na intervalu $\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right) .$

Započni učenje

Online časovi

97.a

Beleške