5135. Svojstva realnih funkcija

$1^\circ$ Sinus i kosinus su definisani za svaki realan broj, pa je oblast definisanosti $\mathbb{R} .$

Pre ostalih delova funkciju pojednostavljujemo. Primetimo da je $2x-\frac{3\pi}{4}=\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{2} ,$ a kosinus ugla umanjenog za $\frac{\pi}{2}$ jednak je sinusu tog ugla: $\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\alpha .$ Zato su oba sabirka jednaka:

\cos\left(2x-\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right) \implies f(x)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)

$2^\circ$ Kada $x$ prolazi svim realnim brojevima, i ugao $2x-\frac{\pi}{4}$ prolazi svim realnim brojevima, pa sinus dobija sve vrednosti od $-1$ do $1 .$ Množenjem sa $2$ dobijamo skup vrednosti:

-1\leq\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\leq1 \implies -2\leq f(x)\leq2, \qquad \text{skup vrednosti je } [-2,2]

$3^\circ$ Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je periodična ako postoji broj $T>0$ takav da za svako $x\in A$ važi $x\pm T\in A$ i $f(x+T)=f(x-T)=f(x) .$ Broj $T$ je period, a najmanji period (ako postoji) zove se osnovni period. Jednostavno rečeno: kada se pomerimo za $T$ levo ili desno, funkcija ima istu vrednost, pa se njen grafik ponavlja.

Sinus se ponavlja posle $2\pi .$ Kada $x$ pomerimo za $\pi ,$ ugao $2x-\frac{\pi}{4}$ se pomeri za $2\pi ,$ pa je $\pi$ period. Da manjeg nema: neka je $T>0$ period. U tački $x=\frac{3\pi}{8}$ ugao je $\frac{\pi}{2} ,$ pa je $f=2$ ; zato mora biti i $f\left(\frac{3\pi}{8}+T\right)=2 :$

2\sin\left(\frac{\pi}{2}+2T\right)=2 \iff \cos2T=1 \iff 2T=2k\pi \iff T=k\pi, \quad k\in\mathbb{N}

Osnovni period je $\pi .$ $4^\circ$ Podsetimo se: nula funkcije $f:A\to\mathbb{R}$ je svaki realan broj $x_0\in A$ za koji je $f(x_0)=0 .$ To su apscise tačaka u kojima grafik seče $x$ -osu. Ispitati znak znači utvrditi za koje $x$ je $f(x)>0$ (grafik iznad $x$ -ose), a za koje $f(x)<0$ (grafik ispod $x$ -ose).

Sinus je nula kada je ugao ceo umnožak broja $\pi :$

\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \iff 2x-\frac{\pi}{4}=k\pi \iff x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}, \quad k\in\mathbb{Z}

$5^\circ$ Podsetimo se definicija: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je parna ako je skup $A$ simetričan u odnosu na $0$ (iz $x\in A$ sledi $-x\in A$ ) i ako za svako $x\in A$ važi $f(-x)=f(x) .$ Neparna je ako je $A$ simetričan u odnosu na $0$ i za svako $x\in A$ važi $f(-x)=-f(x) .$ Ako oblast definisanosti nije simetrična, funkcija ne može biti ni parna ni neparna.

Oblast $\mathbb{R}$ je simetrična, pa proveravamo jednakosti na primerima. Neparna funkcija definisana u nuli mora imati $f(0)=-f(0) ,$ tj. $f(0)=0 ,$ a ovde je $f(0)=2\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt2\neq0 .$ Za parnost upoređujemo $\frac{\pi}{8}$ i $-\frac{\pi}{8} :$

f\left(\frac{\pi}{8}\right)=2\sin0=0, \qquad f\left(-\frac{\pi}{8}\right)=2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2\neq f\left(\frac{\pi}{8}\right)

Odgovor: $1^\circ$ $\mathbb{R}$ ; $2^\circ$ $[-2,2]$ ; $3^\circ$ osnovni period je $\pi$ ; $4^\circ$ nule su $x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2} ,$ $k\in\mathbb{Z}$ ; $5^\circ$ funkcija nije ni parna ni neparna.

Započni učenje

Online časovi

103.a

Beleške