5136. Svojstva realnih funkcija

$1^\circ$ Sinus i kosinus su definisani za svaki realan broj, pa je oblast definisanosti $\mathbb{R} .$

Funkciju zapisujemo kao jedan sinus. Neka je $u=x+\frac{\pi}{3} .$ Izdvajamo $2\sqrt3 ,$ jer tada u zagradi ostaju brojevi $\frac12$ i $\frac{\sqrt3}{2} ,$ a to su $\cos\frac{\pi}{3}$ i $\sin\frac{\pi}{3} .$ Zatim primenjujemo formulu za sinus zbira:

f(x)=2\sqrt3\left(\frac12\sin u+\frac{\sqrt3}{2}\cos u\right)=2\sqrt3\left(\sin u\cos\frac{\pi}{3}+\cos u\sin\frac{\pi}{3}\right)=2\sqrt3\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)

$2^\circ$ Ugao $x+\frac{2\pi}{3}$ prolazi svim realnim brojevima, pa sinus dobija sve vrednosti od $-1$ do $1 .$ Množenjem sa $2\sqrt3 :$

-2\sqrt3\leq f(x)\leq2\sqrt3, \qquad \text{skup vrednosti je } \left[-2\sqrt3,\,2\sqrt3\right]

$3^\circ$ Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je periodična ako postoji broj $T>0$ takav da za svako $x\in A$ važi $x\pm T\in A$ i $f(x+T)=f(x-T)=f(x) .$ Broj $T$ je period, a najmanji period (ako postoji) zove se osnovni period. Jednostavno rečeno: kada se pomerimo za $T$ levo ili desno, funkcija ima istu vrednost, pa se njen grafik ponavlja.

Pomeranjem $x$ za $2\pi$ i ugao se pomeri za $2\pi ,$ pa je $2\pi$ period. Da manjeg nema: neka je $T>0$ period. U tački $x=-\frac{\pi}{6}$ ugao je $\frac{\pi}{2}$ i $f=2\sqrt3 ,$ pa mora biti i $f\left(-\frac{\pi}{6}+T\right)=2\sqrt3 :$

\sin\left(\frac{\pi}{2}+T\right)=1 \iff \cos T=1 \iff T=2k\pi, \quad k\in\mathbb{N}

Osnovni period je $2\pi .$ $4^\circ$ Podsetimo se: nula funkcije $f:A\to\mathbb{R}$ je svaki realan broj $x_0\in A$ za koji je $f(x_0)=0 .$ To su apscise tačaka u kojima grafik seče $x$ -osu. Ispitati znak znači utvrditi za koje $x$ je $f(x)>0$ (grafik iznad $x$ -ose), a za koje $f(x)<0$ (grafik ispod $x$ -ose).

Sinus je nula kada je ugao ceo umnožak broja $\pi :$

\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=0 \iff x+\frac{2\pi}{3}=k\pi \iff x=-\frac{2\pi}{3}+k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}

Isti skup možemo zapisati i kao $x=\frac{\pi}{3}+k\pi$ (jer je $-\frac{2\pi}{3}+\pi=\frac{\pi}{3}$ ). $5^\circ$ Podsetimo se definicija: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je parna ako je skup $A$ simetričan u odnosu na $0$ (iz $x\in A$ sledi $-x\in A$ ) i ako za svako $x\in A$ važi $f(-x)=f(x) .$ Neparna je ako je $A$ simetričan u odnosu na $0$ i za svako $x\in A$ važi $f(-x)=-f(x) .$ Ako oblast definisanosti nije simetrična, funkcija ne može biti ni parna ni neparna.

Funkcija nije neparna, jer je $f(0)=2\sqrt3\sin\frac{2\pi}{3}=2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\neq0 .$ Za parnost upoređujemo $\frac{\pi}{3}$ i $-\frac{\pi}{3} :$

f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sqrt3\sin\pi=0, \qquad f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=2\sqrt3\sin\frac{\pi}{3}=3\neq f\left(\frac{\pi}{3}\right)

Odgovor: $1^\circ$ $\mathbb{R}$ ; $2^\circ$ $\left[-2\sqrt3,2\sqrt3\right]$ ; $3^\circ$ osnovni period je $2\pi$ ; $4^\circ$ nule su $x=\frac{\pi}{3}+k\pi ,$ $k\in\mathbb{Z}$ ; $5^\circ$ funkcija nije ni parna ni neparna.

Započni učenje

Online časovi

103.b

Beleške