5137. Svojstva realnih funkcija

$1^\circ$ Tangens je $\frac{\sin x}{\cos x}$ i zahteva $\cos x\neq0$ ; kotangens je $\frac{\cos x}{\sin x}$ i zahteva $\sin x\neq0 .$ Sinus je nula u $0,\pi,2\pi,\dots ,$ a kosinus u $\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\dots$ ; zajedno su to svi umnošci broja $\frac{\pi}{2} :$

D=\left\{x\in\mathbb{R} : x\neq\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}\right\}

Funkciju pojednostavljujemo svođenjem na zajednički imenilac, uz $\sin^2x+\cos^2x=1$ i $2\sin x\cos x=\sin2x :$

f(x)=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin2x}

$2^\circ$ Na skupu $D$ je $\sin2x\neq0 ,$ pa $\sin2x$ uzima sve vrednosti iz $[-1,0)$ i $(0,1] .$ Ako je imenilac između $0$ i $1 ,$ razlomak $\frac{2}{\sin2x}$ je najmanje $2$ (npr. imenilac $1$ daje $2 ,$ imenilac $0{,}5$ daje $4$ ). Ako je imenilac između $-1$ i $0 ,$ razlomak je najviše $-2 :$

0<\sin2x\leq1 \implies f(x)\geq2, \qquad -1\leq\sin2x<0 \implies f(x)\leq-2

Svaka takva vrednost se i dostiže: za bilo koje $y\geq2$ ili $y\leq-2$ broj $\frac2y$ je između $-1$ i $1$ i različit od nule, pa postoji $x\in D$ sa $\sin2x=\frac2y ,$ tj. $f(x)=y .$ Skup vrednosti je:

(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)

$3^\circ$ Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je periodična ako postoji broj $T>0$ takav da za svako $x\in A$ važi $x\pm T\in A$ i $f(x+T)=f(x-T)=f(x) .$ Broj $T$ je period, a najmanji period (ako postoji) zove se osnovni period. Jednostavno rečeno: kada se pomerimo za $T$ levo ili desno, funkcija ima istu vrednost, pa se njen grafik ponavlja.

Ako $x\in D ,$ onda i $x\pm\pi\in D ,$ a pomeranjem za $\pi$ ugao $2x$ se pomeri za $2\pi ,$ pa je $\pi$ period. Da manjeg nema: neka je $T>0$ period. Kako je $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2}{\sin\frac{\pi}{2}}=2 ,$ mora biti $f\left(\frac{\pi}{4}+T\right)=2 :$

\frac{2}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+2T\right)}=2 \iff \cos2T=1 \iff T=k\pi, \quad k\in\mathbb{N}

Osnovni period je $\pi .$ $4^\circ$ Podsetimo se: nula funkcije $f:A\to\mathbb{R}$ je svaki realan broj $x_0\in A$ za koji je $f(x_0)=0 .$ To su apscise tačaka u kojima grafik seče $x$ -osu. Ispitati znak znači utvrditi za koje $x$ je $f(x)>0$ (grafik iznad $x$ -ose), a za koje $f(x)<0$ (grafik ispod $x$ -ose). Razlomak $\frac{2}{\sin2x}$ ima brojilac $2\neq0 ,$ pa nikad nije nula: funkcija nema nula.

$5^\circ$ Podsetimo se definicija: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je parna ako je skup $A$ simetričan u odnosu na $0$ (iz $x\in A$ sledi $-x\in A$ ) i ako za svako $x\in A$ važi $f(-x)=f(x) .$ Neparna je ako je $A$ simetričan u odnosu na $0$ i za svako $x\in A$ važi $f(-x)=-f(x) .$ Ako oblast definisanosti nije simetrična, funkcija ne može biti ni parna ni neparna.

Skup $D$ je simetričan: ako $x$ nije umnožak broja $\frac{\pi}{2} ,$ nije ni $-x .$ Sinus je neparna funkcija, pa je $\sin(-2x)=-\sin2x :$

f(-x)=\frac{2}{\sin(-2x)}=-\frac{2}{\sin2x}=-f(x)

Odgovor: $1^\circ$ $x\neq\frac{k\pi}{2} ,$ $k\in\mathbb{Z}$ ; $2^\circ$ $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ ; $3^\circ$ osnovni period je $\pi$ ; $4^\circ$ nema nula; $5^\circ$ funkcija je neparna.

Započni učenje

Online časovi

103.v

Beleške