Izraz sa m i n: rezultat (m kroz n) na m + n

Prvo ćemo svesti sve izraze unutar zagrada na zajednički imenilac.

I = \frac{\left( \frac{m^2n^2 - 1}{n^2} \right)^m \left( \frac{mn + 1}{m} \right)^{n-m}}{\left( \frac{n^2m^2 - 1}{m^2} \right)^n \left( \frac{mn - 1}{n} \right)^{m-n}}

Primenjujemo razliku kvadrata $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ na članove oblika $m^2n^2 - 1 .$

I = \frac{\frac{(mn-1)^m(mn+1)^m}{n^{2m}} \cdot \frac{(mn+1)^{n-m}}{m^{n-m}}}{\frac{(mn-1)^n(mn+1)^n}{m^{2n}} \cdot \frac{(mn-1)^{m-n}}{n^{m-n}}}

Sada grupišemo iste baze $(mn-1)$ i $(mn+1)$ u brojiocu i imeniocu koristeći pravilo $a^x \cdot a^y = a^{x+y} .$

I = \frac{\frac{(mn-1)^m (mn+1)^{m + n - m}}{n^{2m} m^{n-m}}}{\frac{(mn+1)^n (mn-1)^{n + m - n}}{m^{2n} n^{m-n}}}

Sređivanjem eksponenata u brojiocu i imeniocu primećujemo da se određeni članovi skraćuju.

I = \frac{\frac{(mn-1)^m (mn+1)^n}{n^{2m} m^{n-m}}}{\frac{(mn+1)^n (mn-1)^m}{m^{2n} n^{m-n}}}

Nakon skraćivanja identičnih izraza $(mn-1)^m$ i $(mn+1)^n ,$ ostaje nam dvojni razlomak sa stepenima varijabli m i n.

I = \frac{\frac{1}{n^{2m} m^{n-m}}}{\frac{1}{m^{2n} n^{m-n}}} = \frac{m^{2n} n^{m-n}}{n^{2m} m^{n-m}}

Primenjujemo pravilo za deljenje stepena istih baza $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$ kako bismo dobili konačan oblik.

I = m^{2n - (n-m)} \cdot n^{m-n - 2m} = m^{n+m} \cdot n^{-(m+n)}

Konačni rezultat možemo zapisati u obliku jednog razlomka.

I = \left( \frac{m}{n} \right)^{m+n}

10.d