113.b

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Proverimo da je ovo rešenje u oblasti $(-2,2) :$ $x+2=\frac{2(2^y-1)+2(2^y+1)}{2^y+1}=\frac{4\cdot2^y}{2^y+1}>0$ i $2-x=\frac{2(2^y+1)-2(2^y-1)}{2^y+1}=\frac{4}{2^y+1}>0 .$ Dakle, za svako realno $y$ postoji tačno jedno rešenje, pa je $f:(-2,2)\to\mathbb{R}$ bijekcija.

Provera: $f(1)=\log_23 ,$ a formula za $y=\log_23$ (tj. $2^y=3$) daje $\frac{2(3-1)}{3+1}=1 .$ Slaže se.

Rešenje: $f^{-1}(x)=\frac{2(2^x-1)}{2^x+1} ,$ $x\in\mathbb{R} .$

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$