112.z

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Logaritam je definisan za pozitivan argument: $\frac{x-2}{x}>0 .$ Razlomak je pozitivan kada su brojilac i imenilac istog znaka: oba pozitivna za $x>2 ,$ oba negativna za $x<0 .$ Oblast definisanosti je $(-\infty,0)\cup(2,+\infty) .$

Koje vrednosti funkcija ima? Zapišimo $\frac{x-2}{x}=1-\frac2x .$ Pošto $\frac2x$ nikad nije nula, ovaj izraz nikad nije $1 ,$ pa $f(x)$ nikad nije $\log_21=0 .$ Posmatramo $f:(-\infty,0)\cup(2,+\infty)\to\mathbb{R}\setminus\{0\} .$

Poslednji korak je moguć jer je $2^y\neq1$ za $y\neq0 .$ Rešenje je jedinstveno, pa je funkcija bijekcija. Ono je i u oblasti definisanosti: za $y>0$ je $1-2^y<0 ,$ pa $x<0$; za $y<0$ je $0<1-2^y<1 ,$ pa $x>2 .$ Provera: $f(4)=\log_2\frac12=-1 ,$ a $\frac{2}{1-2^{-1}}=\frac{2}{\frac12}=4 .$

Rešenje: $f^{-1}(x)=\frac{2}{1-2^x} ,$ $x\neq0 .$

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$