112.ž

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Na intervalu $\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$ sinus opada od $\sin\frac{\pi}{2}=1 ,$ preko $\sin\pi=0 ,$ do $\sin\frac{3\pi}{2}=-1 .$ Funkcija je strogo opadajuća, pa svaku vrednost iz $[-1,1]$ dostiže tačno jednom. Posmatramo $f:\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]\to[-1,1] ,$ i to je bijekcija.

Podsetimo se: $\arcsin y$ je jedini broj iz intervala $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ čiji je sinus jednak $y$ (npr. $\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$). Ali naš $x$ je iz drugog intervala, pa $\arcsin y$ nije traženo rešenje. Zato koristimo formulu $\sin(\pi-u)=\sin u .$

Provera: $x=\frac{5\pi}{6}$ je u intervalu i $\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12$; formula daje $\pi-\arcsin\frac12=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6} .$ Slaže se.

Rešenje: $f^{-1}(x)=\pi-\arcsin x ,$ $-1\leq x\leq1 .$

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$