112.đ

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Za $x\in[0,1]$ je $0\leq f(x)\leq1 .$ Kada $x$ raste od $0$ do $1 ,$ $x^2$ raste, pa $1-x^2$ opada. Funkcija je strogo opadajuća: $f(0)=1 ,$ $f\left(\frac35\right)=\frac45 ,$ $f(1)=0 .$ Posmatramo $f:[0,1]\to[0,1] .$

Za svako $y\in[0,1]$ postoji tačno jedno rešenje, pa je funkcija bijekcija. Zanimljivo je da smo dobili istu formulu: funkcija je sama sebi inverzna. Provera: $f\left(\frac35\right)=\frac45$ i $f\left(\frac45\right)=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35 .$

Rešenje: $f^{-1}(x)=\sqrt{1-x^2} ,$ $0\leq x\leq1 ,$ tj. $f^{-1}=f .$ Grafik je četvrtina kružnice $x^2+y^2=1$ u prvom kvadrantu, koja je sama simetrična u odnosu na pravu $y=x ,$ pa se grafici $f$ i $f^{-1}$ poklapaju.

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$