112.e

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Funkcija je zadata po delovima, pa svaki deo posmatramo posebno i određujemo koje vrednosti daje. Za $x<1$ je $f(x)=x ,$ pa su vrednosti svi brojevi manji od $1 ,$ tj. interval $(-\infty,1) .$

Za $1\leq x\leq4$ je $f(x)=x^2 .$ Kvadrat pozitivnih brojeva raste, pa vrednosti idu od $1^2=1$ do $4^2=16 :$ interval $[1,16] .$ Za $x>4$ je $f(x)=2^x ,$ koja raste, pa su vrednosti veće od $2^4=16 :$ interval $(16,+\infty) .$

Svaki deo je strogo rastući, a intervali vrednosti $(-\infty,1) ,$ $[1,16]$ i $(16,+\infty)$ se ne preklapaju i zajedno pokrivaju ceo skup $\mathbb{R} .$ Zato svaki realan broj $y$ funkcija dostiže tačno jednom: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ je bijekcija.

Provera: $f(3)=9$ i $\sqrt9=3$; $f(5)=32$ i $\log_232=5$; $f(-2)=-2$ i $f^{-1}(-2)=-2 .$

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$